الأعداد الحقيقية وخواصها

ادعى فيثاغورس أن الرقم هو تأسيس العالم على قدم المساواة مع العناصر الرئيسية. أفلاطون يعتقد أن عدد الروابط الظاهرة ونومينون، مما يساعد على معرفة، ليكون وزنه واستخلاص النتائج. الحساب يأتي من كلمة "arifmos" - عدد، ونقطة البداية في الرياضيات. فمن الممكن لوصف أي كائن - من المرحلة الابتدائية إلى فضاءات تجريدية التفاح.

يحتاج كعامل تنمية

في المراحل الأولى من تطور المجتمع واحتياجات الناس مقيدة بسبب الحاجة للحفاظ على النتيجة - .. كيس واحد من الحبوب، وهما حقيبة الحبوب، الخ. للقيام بذلك، كان الأعداد الطبيعية، ومجموعة من الذي هو تسلسل لانهائي من N. الأعداد الصحيحة الموجبة

وفي وقت لاحق، تطوير الرياضيات كعلم، كان من الضروري في حقل معين من الأعداد الصحيحة Z - وهو يشمل القيم السلبية والصفر. ظهوره على المستوى المحلي، تعرض للاستفزاز من قبل أن المحاسبة الأولية كان لإصلاح بطريقة أو بأخرى الديون والخسائر. على المستوى العلمي، جعلت الأرقام السالبة من الممكن حل بسيط المعادلات الخطية. من بين أمور أخرى، فمن الممكن الآن صورة نظام تافهة تنسيق، أي. A. كان هناك نقطة مرجعية.

وكانت الخطوة التالية الحاجة إلى إدخال أرقام كسور، لأن العلم لا يقف ساكنا، وطالب المزيد والمزيد من الاكتشافات الجديدة الأساس النظري لنمو دفعة جديدة. لذلك كان هناك حقل من أرقام عقلانية Q.

وأخيرا، لم تعد تلبي متطلبات العقلانية، لأن كل النتائج الجديدة تتطلب مبرر. كان هناك مجال الأرقام R الحقيقي، ويعمل من incommensurability إقليدس كميات معينة بسبب اللاعقلانية بهم. وهذا هو، عالم الرياضيات اليونانية القديمة المتمركزة عدد ليس فقط باعتبارها ثابت، ولكن كقيمة مجردة الذي يتميز نسبة مقادير للقياس. يرجع ذلك إلى حقيقة أن هناك الأعداد الحقيقية، "شاهدنا الخفيفة" القيم مثل "بي" و "ه"، والتي بدونها الرياضيات الحديثة لا يمكن أن يكون حدثت.

وكان الابتكار النهائي عدد معقدة و C. وأجاب على سلسلة من الأسئلة وفند المسلمات دخلت سابقا. نظرا للتطور السريع للنتائج الجبر التنبؤ به - مع الأعداد الحقيقية، كان القرار من العديد من المشاكل غير ممكن. على سبيل المثال، بلغ بفضل الأعداد المركبة من نظرية الأوتار والفوضى توسيع معادلات الهيدروناميكا.

تعيين نظرية. قائد جوقة الترتيل

مفهوم اللانهاية تسبب دائما الجدل، لأنه كان من المستحيل لإثبات أو دحض. في سياق الرياضيات والتي تعمل المسلمات التحقق بدقة، وتجلت الأكثر وضوحا، وأكثر أن الجانب اللاهوتي لا يزال وزنه في مجال العلوم.

ومع ذلك، من خلال عمل رياضيات جورج كانتور انخفض كل الوقت في المكان. وقال انه ثبت أن مجموعة غير منتهية هناك مجموعة لانهائية، وأن R الحقل أكبر من الحقل N، ترك كل منهما وليس لها أي نهاية. في منتصف القرن التاسع عشر، أفكاره دعا علنا هراء وجريمة ضد شرائع ثابتة الكلاسيكية، ولكن الوقت سوف يضع كل شيء في مكانه.

الخصائص الأساسية لR الحقل

الأرقام الفعلية لا يكون لها سوى نفس الخصائص كما podmozhestva أنها تشمل، ولكنها تستكمل masshabnosti البعض بحكم عناصرها:

• صفر R. موجود وينتمي إلى مجال ج + = ج 0 لأي ج ر
• صفر موجود وينتمي إلى R. الحقل ج س 0 = 0 لأي ج ر
• نسبة ج: د عند د ≠ 0 موجود وساري المفعول لأي ج، د من R.
• الميدان R أمرت، أي إذا ج ≤ د، د ≤ ج، ثم c = د لأي ج، د من R.
• بالإضافة إلى ذلك في R الميدانية تبادلي، أي ج + د = د + ج، لأي ج، د من R.
• الضرب في R الحقل تبادلي، أي س ج خ د = د ج لجميع ج، د من R.
• بالإضافة إلى ذلك في R الميدانية النقابي أي (ج + د) + و = ج + (د + و) لأي ج، د، و ر
• الضرب في R الحقل النقابي أي (ج س د) س و ج س = (د س و) لأي ج، د، و ر
• لكل رقم حقل R مقابل ذلك هناك، بحيث ج + (-c) = 0، حيث c، -c من R.
• لكل رقم من R الحقل موجود عكسه، بحيث ج س ج ^-1 = 1 حيث ج، ج ^-1 من R.
• توجد وحدة وينتمي إلى R، بحيث ج × 1 = ج، لأي ج ر
• فمن لديه توزيع سلطة القانون، بحيث ج س (د + و) = ج خ د + ج س و لأي ج، د، و ر
• مجال R هو صفر لا تساوي وحدة وطنية.
• الميدان R غير متعدية: إذا ج ≤ د، د ≤ و، ثم c ≤ و لأي ج، د، و ر
• في الترتيب R وبالإضافة مترابطة: إذا ج ≤ د، ثم c + و + ≤ د و لجميع ج، د، و ر
• في ترتيب R والضرب مرتبطة: إذا 0 ≤ ج، 0 ≤ د، ثم 0 ≤ ج خ د لأي ج، د من R.
• كما ان الارقام الحقيقية السلبية والإيجابية مستمرة، أي عن أي ج، د من R و، هناك يوجد من R، أن ج ≤ ≤ و د.

R الحقل حدة

وتشمل الأرقام الحقيقية شيء من هذا القبيل وحدة نمطية. صممت لأن ل| F | أي و في R. | F | = F، إذا 0 ≤ و و| و | = -f، إذا 0> و. وإذا نظرنا إلى وحدة كقيمة هندسية، بل هو المسافة - لا يهم، "مرت" كنت صفر في السلبية إلى إيجابية أو إلى الأمام.

الأعداد المركبة والحقيقية. ما هي أوجه الشبه والاختلاف؟

بواسطة وبأعداد كبيرة ومعقدة وحقيقية - فهي واحدة واحدة، إلا أن أول انضمت وحدة وهمية ط، الساحة التي يساوي -1. عناصر حقول R و C يمكن أن يمثله الصيغة التالية:

• ج = د + و س ط، حيث د، و تنتمي إلى R المجال، وأنا - وحدة وهمية.

للحصول على ج من R و في هذه الحالة ببساطة يفترض أن يكون صفرا، أي لا يوجد سوى جزء حقيقي من الرقم. لأن الحقل الأعداد المركبة لديه نفس الميزة على النحو مجال حقيقية، و س ط = 0 إذا F = 0.

وفيما يتعلق الاختلافات العملية، على سبيل المثال في مجال R معادلة من الدرجة الثانية لا يمكن حلها إذا كان التمايز هو سلبي، في حين مربع C لا يفرض هذا القيد من خلال إدخال وحدة وهمية ط.

النتائج

"طوب" من البديهيات والمسلمات التي الرياضيات الأساسية، لا تتغير. على بعض منها ويرجع ذلك إلى زيادة المعلومات واستحداث نظريات جديدة وضعت "الطوب" التالية، والتي في المستقبل قد تصبح أساسا لاتخاذ الخطوة التالية. على سبيل المثال، الأعداد الطبيعية، على الرغم من حقيقة أنها هي مجموعة فرعية من الميدان R الحقيقي، لا تفقد أهميتها. فمن لهم أساس كل حساب ابتدائي، والذي يبدأ مع معرفة رجل سلام.

من الناحية العملية، فإن الأرقام الحقيقية تبدو وكأنها خط مستقيم. فمن الممكن لاختيار الاتجاه، لتحديد المنشأ والملعب. يتكون مباشرة من عدد لا حصر له من النقاط، كل واحدة منها يتوافق مع العدد الحقيقي واحد، بغض النظر عن وجود أو عدم عقلانية. من الوصف فمن الواضح أننا نتحدث عن هذا المفهوم، الذي يقوم الرياضيات بشكل عام، و التحليل الرياضي على وجه الخصوص.