سلسلة فورييه: تاريخ وتأثير آلية الرياضية لتطوير العلوم

سلسلة فورييه - هذا الرأي اختيار تعسفي وظائف لفترة في صف واحد. بصفة عامة، ويسمى هذا الحل العنصر التوسع على أساس متعامد. توسيع وظائف في سلسلة فورييه هو تماما أداة قوية من أجل حل مختلف المشاكل بسبب خصائص التحول في التكامل، والتمايز، فضلا عن تحول في التعبير حجة والالتواء.

والشخص الذي ليس على دراية الرياضيات العليا، وكذلك مع أعمال فورييه العالم الفرنسي، على الأرجح لن يفهم ما "صفوف" وماذا يفعلون. بعد هذا التحول هو الى حد بعيد دخلت بقوة حياتنا. يتم استخدامها لم الرياضيات فقط، ولكن أيضا الفيزيائيين والكيميائيين والأطباء والفلكيين وعلماء الزلازل والمحيطات وغيرها. دعونا أيضا نلقي نظرة فاحصة مع أعمال العالم الفرنسي العظيم الذي صنع هذا الاكتشاف، قبل وقته.

الرجل وتحويل فورييه

سلسلة فورييه هي واحدة من الطرق (جنبا إلى جنب مع تحليل وغيرها) من تحويل فورييه. تتم هذه العملية في كل مرة شخص يسمع أي صوت. لدينا الأذن تلقائيا بتحويل الموجة الصوتية. يتم توسيع حركة متذبذبة من الجسيمات الأولية في وسيلة مرنة في سلسلة (الطيف) القيم حجم المتعاقبة لنغمات من ارتفاعات مختلفة. بعد ذلك، الدماغ تحويل هذه البيانات إلى أصوات مألوفة بالنسبة لنا. كل هذا بالإضافة إلى رغبتنا أو الوعي نفسه، ولكن من أجل فهم العمليات التي تستغرق عدة سنوات لدراسة الرياضيات العليا.

قراءة المزيد عن تحويل فورييه

تحويل فورييه يمكن القيام بها التحليلية والأرقام وغيرها من الأساليب. سلسلة فورييه هي عملية الترقيم للتحلل أي عمليات متذبذبة - من المد والجزر في المحيطات وموجات الضوء لدورات الشمسية (والأجرام الفلكية الأخرى) النشاط. باستخدام هذه التقنيات الرياضية، فمن الممكن لتفكيك وظيفة، وهو ما يمثل أي عمليات متذبذبة في عدد من مكونات الجيبية التي تذهب من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى، والعكس بالعكس. تحويل فورييه هي وظيفة واصفا المرحلة واتساع الجيوب المقابلة لتردد معين. هذه العملية يمكن أن تستخدم في حل المعادلات المعقدة جدا التي تصف العمليات الحيوية التي تحدث في إطار العمل من الحرارة والضوء أو الطاقة الكهربائية. أيضا، سلسلة فورييه تستخدم للتمييز بين مكونات DC في الطول الموجي معقدة، مما يجعل من الممكن لتفسير الملاحظات التجريبية في مجال الطب والكيمياء وعلم الفلك بشكل صحيح.

معلومات تاريخية

الأب المؤسس لهذه النظرية هو عالم الرياضيات الفرنسي زان باتيست زوزف فور. اسمه في وقت لاحق وكان يسمى هذا التحول. في البداية، استخدم العلماء تقنية لدراسة وشرح آليات التوصيل الحراري - انتشار الحرارة في المواد الصلبة. اقترح فورييه أن التوزيع غير المنتظم الأولي للموجة حرارية يمكن أن تتحلل إلى المنحنى السيني بسيط، كل واحدة منها سوف يكون لها أدنى درجة الحرارة والحد الأقصى، وكذلك مرحلته. وبالتالي كل هذا المكون المراد قياسها من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى، والعكس بالعكس. وظيفة الرياضية التي تصف القمم العليا والسفلى من المنحنى، وكذلك مرحلة من كل متناسق، ودعا تحويل فورييه لتوزيع درجة حرارة التعبير. صاحب نظرية انخفاض وظيفة التوزيع الشاملة التي يصعب الوصف الرياضي، في السهل جدا للتعامل مع عدد من وظائف دورية من الجيب وجيب التمام، في كمية إعطاء التوزيع الأولي.

مبدأ تحويل وآراء المعاصرين

معاصريه من العلماء - من كبار علماء الرياضيات في أوائل القرن التاسع عشر - لم تقبل هذه النظرية. وكان الاعتراض الرئيسي على موافقة فورييه أن تمزق وظيفة متقطع واصفا خط مستقيم أو منحنى، ويمكن ان تكون ممثلة على النحو مبلغ من تعبيرات الجيبية التي هي مستمرة. وكمثال على ذلك، والنظر في "خطوة" Heaviside: قيمته صفرا على يسار الفجوة واحد على اليمين. توضح هذه وظيفة اعتماد التيار الكهربائي على المتغير الزمني لسلسلة الإغلاق. نظرية المعاصرة في ذلك الوقت، لم اجه مثل هذه الحالة، عندما تعبير متقطع من شأنه أن يمكن وصفها من قبل مجموعة من والمهام المشتركة مستمرة، مثل الأسي، شرط، أو الخطية من الدرجة الثانية.

ما ازعجت علماء الرياضيات الفرنسية في نظرية فورييه؟

بعد كل شيء، إذا كان عالم الرياضيات الحق في القول، إذن، ملخصا لانهائية سلسلة فورييه المثلثية، فمن الممكن الحصول على تمثيل دقيق للخطوة التعبير، حتى إذا كان لديه مجموعة من الخطوات المماثلة. في أوائل القرن التاسع عشر، وبدا هذا البيان السخيف. ولكن على الرغم من كل الشكوك، وسعت العديد من الرياضيين في نطاق دراسة هذه الظاهرة، ونقله خارج دراسات التوصيل الحراري. ومع ذلك، واصلت معظم العلماء أن تعاني من السؤال: "هل يمكن للمجموع سلسلة موجة جيبية يتقارب مع القيمة الدقيقة للوظيفة متقطع"

التقارب من سلسلة فورييه: مثال

قضية التقارب ترتفع في كل مرة كنت في حاجة إلى الجمع من سلسلة لانهائية من الأرقام. النظر في مثال كلاسيكي لفهم هذه الظاهرة. يمكنك الوصول إلى أي وقت مضى الجدار، وإذا كان كل خطوة هي نصف السابقة؟ لنفترض أنك مترين من المرمى، الخطوة الأولى أقرب إلى ما يقرب من نصف الطريق، وفي اليوم التالي - علامة من ثلاثة أرباع، وبعد خمس، سوف التغلب على ما يقرب من 97 في المئة من الطريق. ومع ذلك، بغض النظر عن عدد الخطوات التي قمت به لا، الهدف المقصود تصل بالمعنى الرياضي الصارم. باستخدام حسابات عددية، يمكن أن نثبت أنه في نهاية المطاف قد تكون أقرب إلى مسافة صغيرة تعسفية معين. هذا هو ما يعادل برهان يدل على أن القيمة الإجمالية للنصف، ربع، وهلم جرا. E. هل تميل إلى الوحدة.

قضية التقارب: المجيء الثاني، أو صك اللورد كلفن

مرارا وتكرارا السؤال الذي يطرح نفسه في أواخر القرن التاسع عشر، عندما سلسلة فورييه حاولوا استخدام التنبؤ شدة التأرجح صعودا وهبوطا. في ذلك الوقت، اخترع اللورد كلفن الجهاز هو جهاز كمبيوتر التناظرية التي سمح جنود البحرية ومراقبة البحرية التجارية هو ظاهرة طبيعية. هذه الآلية المحددة مجموعة من المراحل وسعة من ارتفاع جدول المد والجزر ولحظات وقت المقابلة، وقياس بعناية في الميناء على مدار العام. كل معلمة هي الجيبية آفاق التعبير مكون المد وكانت واحدة من المكونات العادية. نتائج القياس هي مدخلات لجهاز الحوسبة اللورد كلفن، وتوليفها المنحنى الذي توقع ارتفاع المياه بوصفها وظيفة من السنة التالية. قريبا جدا، وضعت هذه المنحنيات تصل لجميع موانئ العالم.

وإذا وسيتم تقسيم عملية ظيفة متقطعة؟

في ذلك الوقت، بدا واضحا أن الجهاز توقع موجة المد والجزر، مع العديد من العناصر من الحساب يمكن حساب عدد كبير من المراحل وسعة، وهكذا توفر التنبؤ أكثر دقة. ومع ذلك، تبين أن هذا النمط لم تراع في الحالات التي يكون فيها التعبير المد والجزر التي سيتم تصنيعه، يتضمن قفزة حادة، وهذا هو، هي متقطع. في حالة ما إذا كان جهاز لإدخال البيانات من جدول النقاط الزمنية، فإنه بحساب عدد قليل من معاملات فورييه. استعادة الوظيفة الأصلية بسبب العنصر الجيبية (وفقا للمعاملات وجدت). ويمكن قياس التباين بين الأصلي والتعبير أعيد بناؤها في أي لحظة. عندما يمكن أن ينظر إلى حسابات تكرار والمقارنات أن قيمة أكبر خطأ وليس تخفيضها. ومع ذلك، يتم ترجمة كانوا في المنطقة المقابلة لنقطة القطيعة، وأي نقطة أخرى تميل إلى الصفر. في عام 1899، تم تأكيد هذه النتيجة نظريا جوشوا ويلارد جيبس من جامعة ييل.

التقارب من سلسلة فورييه وتطوير الرياضيات ككل

لا ينطبق تحليل فورييه إلى التعبيرات التي تحتوي على عدد لا حصر له من رشقات نارية في فاصل زمني معين. في سلسلة فورييه عامة، إذا كان يتم تمثيل وظيفة الأصلية نتيجة القياسات الفيزيائية الفعلية، تلتقي دائما. أدت الأسئلة تقارب هذه العملية لفئات محددة من الوظائف لفروع جديدة في الرياضيات، مثل نظرية وظائف عامة. ويرتبط هذا مع أسماء مثل شوارتز، J .. Mikusiński ومعبد J.. تحت هذه النظرية، تم إنشاء الأساس النظري واضح ودقيق لهذا التعبير عن وظيفة دلتا ديراك (فهو يصف المنطقة من منطقة واحدة، وتتركز في حي متناهية الصغر نقطة واحدة) و "خطوة" Heaviside. من خلال هذا العمل سلسلة فورييه أصبحت قابلة للتطبيق من أجل حل المعادلات والمشاكل، التي تنطوي على مفاهيم بديهية: تهمة نقطة، كتلة نقطة، ثنائيات الاقطاب المغناطيسية، وحمل مركز على شعاع.

طريقة فورييه

سلسلة فورييه، وفقا للمبادئ التدخل، يبدأ التحلل من الأشكال المعقدة إلى أبسط. على سبيل المثال، تغيير في تدفق الحرارة بسبب مرور من خلال مختلف الحواجز من الحرارة عازلة شكل غير منتظم أو تغيير سطح الأرض - وقوع زلزال، تغييرا في مدار جرم سماوي - تأثير الكواكب. عادة، هذه المعادلات تصف بسيط الابتدائية النظام التقليدي حل لكل طول موجي الفردية. وقد أظهرت فورييه أن الحلول بسيطة يمكن تلخيصها كما لمزيد من المهام المعقدة. في لغة الرياضيات، سلسلة فورييه - منهجية لتقديم مبلغ تعبير عن التوافقي - جيب التمام وموجات الجيب. لذلك، ويعرف هذا التحليل أيضا تحت اسم "التحليل التوافقي".

سلسلة فورييه - الأسلوب الأمثل ل"عصر الحاسوب"

قبل إنشاء تكنولوجيا الحاسوب طريقة فورييه هو أفضل سلاح في ترسانة من العلماء الذين يعملون مع طبيعة موجة من عالمنا. سلسلة فورييه في شكل معقد يسمح لك حل المشاكل البسيطة التي هي قابلة للتوجيه تطبيق قوانين نيوتن للميكانيكا، ولكن أيضا المعادلات الأساسية ليس فقط. أصبح معظم الاكتشافات العلمية النيوتونية من القرن التاسع عشر ممكن فقط بسبب طريقة فورييه.

سلسلة فورييه اليوم

مع تطور تحويل فورييه وارتفعت أجهزة الكمبيوتر إلى مستوى جديد. وترسخ هذا الأسلوب بقوة في جميع المجالات تقريبا للعلوم والتكنولوجيا. وكمثال على ذلك، والصوت والفيديو الرقمي. أحرز تنفيذه ممكنة بفضل الوحيدة لالنظرية التي طورها عالم الرياضيات الفرنسي في مطلع القرن التاسع عشر. وهكذا، سمحت سلسلة فورييه في شكل معقد لتحقيق اختراق في دراسة الفضاء الخارجي. وبالإضافة إلى ذلك، فقد أثرت في دراسة الفيزياء من المواد شبه الموصلة والبلازما والصوتيات الميكروويف، وعلم المحيطات، والرادار، علم الزلازل.

سلسلة فورييه المثلثية

في الرياضيات، سلسلة فورييه هي وسيلة لتمثيل وظائف معقدة التعسفية كمبلغ من بساطة. في الحالات العامة، قد يكون عدد من تعبيرات لا حصر له. وكلما زاد عدد تحسب في حساب، يتم الحصول على أكثر دقة النتيجة النهائية. الاستخدام الأكثر شيوعا لجيب التمام مثلثي بسيطة أو دالة الجيب. في هذه الحالة، ويسمى سلسلة فورييه المثلثية، وقرار هذه التعبيرات - التحلل التوافقي. هذا الأسلوب يلعب دورا هاما في الرياضيات. أولا وقبل كل شيء، وسلسلة مثلثي توفر وسيلة للصورة، وكذلك دراسة الوظائف، هو الوحدة الرئيسية للنظرية. وبالإضافة إلى ذلك، لأنها تتيح لنا حل عدد من المشاكل في الفيزياء الرياضية. وأخيرا، ساهمت هذه النظرية في تطوير التحليل الرياضي، أنها أدت إلى عدد من الفروع الهامة جدا من العلوم الرياضية (نظرية التكامل، نظرية الدوال الدورية). وبالإضافة إلى ذلك، فإن نقطة البداية لتطوير ما يلي النظريات: مجموعات، وظائف حقيقية متغير، التحليل الوظيفي، وكذلك وضعت الأساس للتحليل التوافقي.