مفارقة راسل: معلومات أساسية، والأمثلة، وصياغة

يمثل مفارقة راسل اثنين من مضادات المنطق المنطقية المترابطة.

اثنين من أشكال رسل's بارادوس

الشكل الأكثر مناقشة هو التناقض في منطق مجموعات. بعض مجموعات، على ما يبدو، يمكن أن يكون أعضاء أنفسهم، وغيرها - لا. مجموعة كل مجموعات هي في حد ذاتها مجموعة، لذلك يبدو أنه يشير إلى نفسه. صفر أو فارغة، ومع ذلك، لا ينبغي أن يكون عضوا في نفسك. لذلك، مجموعة من جميع مجموعات، مثل صفر، لا تدخل في نفسها. وتنشأ المفارقة في مسألة ما إذا كانت المجموعة عضوا في حد ذاتها. هذا ممكن إذا وفقط إذا لم يكن كذلك.

وهناك شكل آخر من التناقضات هو التناقض فيما يتعلق بالخصائص. ويبدو أن بعض الممتلكات تنتمي إلى نفسها، في حين أن البعض الآخر لا. الملكية كونها ملكية في حد ذاته هو خاصية، في حين أن ممتلكات كونها القط ليست كذلك. ضع في اعتبارك خاصية وجود خاصية لا تنطبق على نفسها. هل ينطبق على نفسه؟ مرة أخرى، من أي افتراض يلي العكس. سميت هذه المفارقة بعد برتراند راسل (1872-1970)، الذي فتحه في عام 1901.

قصة

واكتشف راسل خلال عمله على "مبادئ الرياضيات". على الرغم من أنه اكتشف التناقض من تلقاء نفسه، وهناك أدلة على أن علماء الرياضيات والمطورين الآخرين من نظرية مجموعة، بما في ذلك إرنست زيرميلو وديفيد هيلبرت، كان يعرف عن النسخة الأولى من التناقض من قبله. إلا أن راسل كان أول من بحث المفارقة في أعماله المنشورة، حيث حاول أولا صياغة الحلول وكان أول من يقدر تماما أهميته. وقد خصص فصل كامل من "المبادئ" لمناقشة هذه المسألة، وخصص الملحق لنظرية الأنواع، التي اقترحها روسيل كحل.

اكتشف راسل "المفارقة الكاذبة"، بالنظر إلى نظرية كانتور يحدد أن قوة أي مجموعة أقل من مجموعة مجموعاتها الفرعية. على الأقل في مجال يجب أن يكون هناك العديد من المجموعات الفرعية كما توجد عناصر فيه، إذا كان لكل عنصر عنصر فرعي واحد مجموعة تحتوي على هذا العنصر فقط. وبالإضافة إلى ذلك، أثبتت كانتور أن عدد العناصر لا يمكن أن يكون مساويا لعدد مجموعات فرعية. إذا كان لديهم نفس العدد، عندئذ يجب أن تكون هناك وظيفة ƒ من شأنها أن تحدد العناصر في مجموعاتها الفرعية. وفي الوقت نفسه، يمكن إثبات أن هذا أمر مستحيل. بعض العناصر يمكن عرضها بواسطة الدالة ƒ على المجموعات الفرعية التي تحتوي عليها، في حين أن البعض الآخر لا يمكن.

النظر في مجموعة فرعية من العناصر التي لا تنتمي إلى صورهم، التي يتم تعيينها. وهي في حد ذاتها مجموعة فرعية من العناصر، وبالتالي فإن الوظيفة ƒ يجب أن تعينها لبعض العناصر في المجال. المشكلة هي أنه ثم السؤال الذي يطرح نفسه حول ما إذا كان هذا العنصر ينتمي إلى المجموعة الفرعية التي يتم تعيينها. هذا ممكن فقط إذا كان لا ينتمي. يمكن اعتبار مفارقة راسل كمثال على نفس خط المنطق، مبسط فقط. ما هي أكثر - مجموعات أو مجموعات فرعية من مجموعات؟ ويبدو أنه ينبغي أن تكون هناك مجموعات أكثر، لأن جميع المجموعات الفرعية للمجموعات نفسها هي مجموعات. ولكن إذا كانت نظرية كانتور صحيحة، ثم يجب أن يكون هناك المزيد من مجموعات فرعية. يعتبر راسل أبسط رسم خرائط للمجموعات على أنفسهم وتطبيق النهج الكانتوري للنظر في مجموعة من كل هذه العناصر التي لا تنتمي إلى مجموعات التي يتم تعيينها. خريطة راسل تصبح مجموعة من جميع المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها.

خطأ فريج

"إن مفارقة الكاذب" كان له عواقب عميقة على التطور التاريخي لنظرية المجموعة. وأوضح أن مفهوم مجموعة عالمية مشكل للغاية. كما تساءل عن فكرة أن لكل شرط أو مسند محدد يمكننا أن نفترض وجود مجموعة من الأشياء التي تلبي هذا الشرط فقط. إن تناقض المفارقة المتعلقة بالخصائص - استمرار طبيعي للنسخة مع مجموعات - أثار شكوكا جدية حول ما إذا كان من الممكن التأكيد على الوجود الموضوعي للممتلكات أو المراسلات العالمية لكل شرط أو مسند محدد.

وسرعان ما عثر على التناقضات والمشاكل في أعمال هؤلاء المنطقيين والفلاسفة والرياضيين الذين قدموا افتراضات مماثلة. في عام 1902، اكتشف راسل أن المفارقة يمكن التعبير عنها في النظام المنطقي الذي تم تطويره في المجلد الأول من غوتلوب فريج، أسس الحساب، واحدة من الأعمال الرئيسية على منطق نهاية القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. في فلسفة فريج، يفهم مجموعة على أنها "تمديد" أو "قيمة المدى" للمفهوم. المفاهيم هي الأقرب يرتبط بالخصائص. ويفترض أنها موجودة لكل دولة أو مسند معين. وبالتالي، هناك مفهوم لمجموعة لا تقع تحت مفهومها تعريف. وهناك أيضا فئة يحددها هذا المفهوم، ولا يندرج تحت المفهوم المحدد إلا إذا لم يكن كذلك.

كتب راسل لفريج حول هذا التناقض في يونيو 1902. أصبحت المراسلات واحدة من الأكثر إثارة للاهتمام ومناقشتها في تاريخ المنطق. واعترف فريج على الفور بالعواقب الكارثية للمفارقة. غير أنه أشار إلى أن صيغة التناقض بشأن الممتلكات في فلسفته تم حلها من خلال التمييز بين مستويات المفاهيم.

مفهوم فريج كان مفهوما كدالة للانتقال من الحجج إلى قيم الحقيقة. مفاهيم المستوى الأول تقبل الأجسام كحجج، مفاهيم المستوى الثاني تأخذ هذه الوظائف كحجج وهلم جرا. وهكذا، لا يمكن للمفهوم أبدا أن يأخذ نفسه كحجة، ولا يمكن صياغة المفارقة المتعلقة بالخصائص. ومع ذلك، تم فهم مجموعات أو ملحقات أو مفاهيم من قبل فريج على أنها تنتمي إلى نفس النوع المنطقي مثل جميع الكائنات الأخرى. ثم لكل مجموعة هناك سؤال، ما إذا كان يقع تحت مفهوم تحديد ذلك.

عندما تلقى فريج الرسالة الأولى من راسل، كان المجلد الثاني من "أسس الحساب" قد انتهى بالفعل. واضطر إلى إعداد بسرعة تطبيق من شأنه أن يجيب على مفارقة راسل. وتضمنت أمثلة فريج عددا من الحلول الممكنة. لكنه جاء إلى استنتاج أن إضعاف مفهوم التجريد من مجموعة في النظام المنطقي.

في الأصل كان من الممكن التوصل إلى استنتاج مفاده أن الكائن ينتمي إلى مجموعة إذا وفقط إذا كان يقع تحت المفهوم الذي يحدد ذلك. في نظام منقح، يمكن للمرء أن يستنتج فقط أن الكائن ينتمي إلى مجموعة إذا وفقط إذا كان يقع تحت مفهوم مجموعة محددة، وليس المجموعة المعنية. لم ينشأ مفارقة راسل.

غير أن القرار لم يلب تماما فريج. وهذا هو السبب. وبعد بضع سنوات، ولأجل نظام منقح، تم العثور على شكل أكثر تعقيدا من التناقض. ولكن حتى قبل حدوث ذلك، رفض فريج قراره، ويبدو أنه توصل إلى نتيجة مفادها أن نهجه كان ببساطة غير فعال، وأن على المنطقيين أن يتعاملوا دون مجموعات على الإطلاق.

ومع ذلك، اقترحت حلول بديلة أخرى أكثر نجاحا نسبيا. وترد أدناه مناقشة.

نوع نظرية

وقد لوحظ أعلاه أن فريج كان لديه إجابة كافية على مفارقات نظرية مجموعة في البديل صيغت للخصائص. كان جواب فريج يسبق الحل الأكثر مناقشة من هذا النوع من المفارقات. لأنه يقوم على حقيقة أن خصائص تقع في أنواع مختلفة وأن نوع الملكية هو أبدا نفس العناصر التي تتصل بها.

وبالتالي، فإن السؤال لا ينشأ حتى إذا كانت الملكية قابلة للتطبيق على نفسها. اللغة المنطقية التي تفصل العناصر من هذا التسلسل الهرمي تستخدم نظرية النوع. على الرغم من أنها تستخدم بالفعل من قبل فريج، لأول مرة تم شرحه تماما ومبرره من قبل راسل في ملحق المبادئ. كانت نظرية الأنواع أكثر اكتمالا من التمييز بين مستويات فريج. لم تشترك في الخصائص ليس فقط في أنواع منطقية مختلفة، ولكن أيضا مجموعات. نظرية الأنواع حل التناقض في مفارقة راسل على النحو التالي.

من أجل أن يكون كافيا فلسفيا، واعتماد نظرية نوع للخصائص يتطلب تطوير نظرية حول طبيعة الخصائص في مثل هذه الطريقة التي يمكن للمرء أن يفسر لماذا لا يمكن تطبيقها على أنفسهم. للوهلة الأولى، من المنطقي أن تتنبأ الممتلكات الخاصة بك. ويبدو أن ممتلكات كونها متطابقة ذاتيا، هي نفسها متطابقة. ممتلكات يجري لطيف يبدو لطيفا. وبالمثل، على ما يبدو، يبدو كاذبا أن نقول أن ممتلكات كونه القط هو القط.

ومع ذلك، برر العديد من المفكرين تقسيم الأنواع بطرق مختلفة. حتى راسل قدم تفسيرات مختلفة في أوقات مختلفة من حياته المهنية. من جانبه، فإن إثبات تقسيم فريج من مستويات مختلفة من المفاهيم ينبع من نظريته من تشبع المفاهيم. المفاهيم، بوصفها وظائف، هي في الأساس ناقصة. لتوفير قيمة، فإنها تحتاج إلى حجة. ولا يمكن للمرء أن يتنبأ بمفهوم واحد بمفهوم من نفس النوع، لأنه لا يزال يتطلب حجته. على سبيل المثال، على الرغم من أنه لا يزال من الممكن استخراج الجذر التربيعي من الجذر التربيعي لعدد معين، فإنه ليس من الممكن ببساطة تطبيق وظيفة الجذر التربيعي إلى وظيفة الجذر التربيعي والحصول على النتيجة.

على المحافظة من الممتلكات

وثمة حل آخر ممكن للمفارقة في الممتلكات هو إنكار وجود ممتلكات وفقا لأي شروط معينة أو متشكلة بشكل جيد. وبطبيعة الحال، إذا كان شخص ما يتجنب خصائص ميتافيزيقية كعناصر موضوعية ومستقلة بشكل عام، ثم، إذا تم قبول الاسمية، ويمكن تجنب المفارقة تماما.

ومع ذلك، من أجل حل أنتينومي لا ينبغي أن تكون متطرفة جدا. فالنظم المنطقية ذات الترتيب الأعلى التي وضعتها فريج وراسل تتضمن، كما يقولون، المبدأ المفاهيمي المتمثل في أن كل صيغة مفتوحة، مهما كانت تعقيداتها، توجد كعنصر خاص أو مفهوم في مثال الأشياء التي تفي بالمعادلة فقط. تم تطبيقها على سمات أي مجموعة ممكنة من الشروط أو المسندات، بغض النظر عن مدى تعقيدها.

ومع ذلك، يمكن للمرء أن يعتمد الميتافيزيقا أكثر دقة من الخصائص، ومنح الحق في وجود موضوعي إلى خصائص بسيطة، بما في ذلك، على سبيل المثال، اللون الأحمر، والصلابة، واللطف، وما إلى ذلك يمكن للمرء حتى تسمح هذه الخصائص ليتم تطبيقها على أنفسهم، على سبيل المثال، كن نوع.

ونفس الوضع للخصائص المعقدة يمكن إنكاره، على سبيل المثال، لمثل هذه "الخصائص" مثل وجود سبعة عشر رأسا، ويجري كتابة تحت الماء، وما إلى ذلك في هذه الحالة، لا توجد حالة معينة يتوافق مع خاصية يفهم على أنه منفصل عنصر موجود له خصائصه الخاصة. وهكذا، يمكن للمرء أن ينكر وجود خاصية بسيطة من كونها الملكية، والتي هي لا تنطبق على الذات وتجنب التناقض من خلال تطبيق الميتافيزيقيا أكثر تحفظا من الخصائص.

مفارقة راسل: الحل

وقد لوحظ أعلاه أنه في نهاية حياته فريج تماما التخلي عن منطق مجموعات. هذا، بطبيعة الحال، هو حل واحد من أنتينومي في شكل مجموعات: إنكار بسيط من وجود مثل هذه العناصر ككل. وبالإضافة إلى ذلك، هناك حلول شعبية أخرى، وترد التفاصيل الرئيسية منها أدناه.

نظرية أنواع للمجموعات

كما ذكر سابقا، دعا راسل نظرية أكثر اكتمالا من الأنواع التي من شأنها أن تفصل ليس فقط الممتلكات أو المفاهيم إلى أنواع مختلفة، ولكن أيضا يحدد. قسم راسل المجموعات إلى مجموعات من الكائنات الفردية، مجموعات من مجموعات من الكائنات الفردية، وما إلى ذلك لم تعتبر مجموعات الأشياء، ومجموعات من مجموعات كانت مجموعات. لم مجموعة أبدا نوع الذي يسمح لنفسه أن يكون نفسه كعضو. لذلك، لا توجد مجموعة من جميع المجموعات التي ليست شروطا صحيحة، لأنه لأي مجموعة مسألة ما إذا كان عضوا هو في حد ذاته انتهاك نوع. مرة أخرى، المشكلة هنا هي توضيح الميتافيزيقا للمجموعات من أجل شرح الأسس الفلسفية للانقسام إلى أنواع.

تطبق

في عام 1937، اقترح فف كوين حل بديل، في بعض الطرق مشابهة لنظرية الأنواع. المعلومات الأساسية عنه هي كما يلي.

يتم الفصل من قبل عنصر، مجموعات، وما إلى ذلك في مثل هذه الطريقة أن افتراض العثور على مجموعة في حد ذاته هو دائما خطأ أو لا معنى لها. يمكن أن تكون مجموعات موجودة فقط بشرط أن الشروط التي تحددها ليست انتهاكا لأنواع. وهكذا، بالنسبة إلى كوين، فإن التعبير "x ليس عضوا في x" هو بيان هام لا يعني وجود مجموعة من جميع العناصر x التي تفي بهذا الشرط.

في هذا النظام، توجد المجموعة لبعض الصيغة المفتوحة A إذا وفقط إذا كانت طبقية، أي إذا تم تعيين المتغيرات أرقام طبيعية بطريقة بحيث يتم تعيين تخصيص واحد أقل من المتغير لكل سمة من التكرار في مجموعة المتغير السابق، بجانبه. وهذا يمنع مفارقة راسل، حيث أن الصيغة المستخدمة لتحديد مجموعة المشكلة لها نفس المتغير قبل علامة العضوية وبعدها، مما يجعلها غير منظمة.

ومع ذلك، فإنه لا يزال يتعين تحديد ما إذا كان النظام الناتج، الذي كوين يسمى "أسس جديدة للمنطق الرياضي"، هو ثابت.

رفض

وقد اعتمد نهج مختلف تماما في نظرية مجموعة زيرميلو فرانكل (زف). وهنا أيضا، يتم وضع قيود على وجود مجموعات. بدلا من نهج "من أعلى إلى أسفل" من راسل وفريج، الذي كان يعتقد في البداية أنه لأي مفهوم أو الملكية أو الشرط، فمن الممكن أن نفترض وجود مجموعة من كل الأشياء مع مثل هذه الممتلكات أو تلبية مثل هذه الحالة، في نظرية سف كل شيء يبدأ "من أسفل إلى أعلى".

العناصر الفردية ومجموعة فارغة تشكيل مجموعة. لذلك، على عكس الأنظمة المبكرة من راسل وفريج، فت لا تنتمي إلى مجموعة عالمية، والتي تشمل جميع العناصر وحتى كل مجموعات. و فت يضع قيودا صارمة على وجود مجموعات. لا يمكن أن توجد إلا تلك التي يتم افتراضها صراحة أو التي يمكن تجميعها باستخدام عمليات تكرارية، وهلم جرا.

ثم، بدلا من فكرة التجريد من مجموعة ساذجة التي تقول أن عنصر يتم تضمينها في مجموعة معينة إذا وفقط إذا كان يستوفي شرطا محددا، يتم استخدام مبدأ الفصل أو الفصل أو "الفرز" في فت. بدلا من افتراض وجود مجموعة من جميع العناصر التي، دون استثناء، تلبية شرط معين، لكل مجموعة موجودة بالفعل، الفرز يشير إلى وجود مجموعة فرعية من جميع العناصر في المجموعة الأصلية التي تفي الشرط.

ثم يأتي مبدأ التجريد: إذا كانت المجموعة A موجودة، ثم بالنسبة لجميع العناصر x في A، x ينتمي إلى المجموعة الفرعية A التي تلبي الشرط C إذا وفقط إذا كان x يرضي الشرط C. هذا النهج يحل التناقض راسل، لأننا لا يمكن أن نفترض ببساطة أن هناك مجموعة من جميع المجموعات التي ليست أعضاء أنفسهم.

وجود مجموعة من مجموعات، يمكننا التمييز أو تقسيمها إلى مجموعات التي هي في حد ذاتها، وتلك التي ليست، ولكن نظرا لعدم وجود مجموعة عالمية، ونحن لا ترتبط من قبل مجموعة من جميع مجموعات. وبدون افتراض مشكلة راسيل، لا يمكن إثبات التناقض.

حلول أخرى

وبالإضافة إلى ذلك، كانت هناك ملحقات لاحقة أو إدخال تعديلات على هذه الحلول، مثل نظرية الشوكة من نوع من "مبادئ الرياضيات" توسيع نظام "المنطق الرياضي" كواين، وكذلك المزيد من التطورات الأخيرة في نظرية مجموعات، وجعل بارنيز، غودل وفون نيومان. مسألة ما إذا كان الرد على مفارقة غير قابلة للذوبان برتراند راسل وجدت، لا تزال موضع نقاش.