الجبر البولي. جبر المنطق. عناصر المنطق الرياضي

في عالم اليوم نحن على نحو متزايد باستخدام مجموعة متنوعة من الأجهزة والأدوات. وليس فقط عندما يكون ذلك ضروريا لتطبيق قوة فوق طاقة البشر حرفيا: نقل حمولة لرفعه إلى الارتفاع، وحفر خندق طويل وعميق، الخ سيارات اليوم جمع الروبوتات، ينضج الطعام Multivarki والعمليات الحسابية الابتدائية إنتاج الآلات الحاسبة ... أكثر وأكثر في كثير من الأحيان نسمع عبارة "الجبر البولي". ربما حان الوقت لفهم دور البشر في خلق الروبوتات والآلات القدرة على حل ليس فقط الرياضية، ولكن أيضا المشاكل المنطقية.

منطق

في المنطق اليوناني - نظام أمر الفكر الذي يخلق العلاقة بين ظروف معينة، ويسمح لك لجعل استنتاجات مبنية على افتراضات وتقديرات. في كثير من الأحيان، ونحن نسأل بعضنا البعض: "إنه من المنطقي أن" الرد يؤكد افتراضاتنا أو ينتقد قطار الفكر. ولكن العملية لا تتوقف عند هذا الحد: نواصل الحديث.

في بعض الأحيان عددا من الشروط (المدخلات) كبيرة جدا، والعلاقة بينهما هي مربكة جدا ومعقد الدماغ البشري غير قادر على "هضم" في كل مرة. قد تحتاج أكثر من شهر واحد (الأسبوع والسنة) لفهم ما يحدث. ولكن الحياة الحديثة لا تعطينا هذه الفترات الزمنية لاتخاذ القرارات. ونلجأ لمساعدة أجهزة الكمبيوتر. ومن هنا أن هناك الجبر والمنطق، مع قوانينها والممتلكات. بعد تحميل كافة البيانات الأصلية، ونحن السماح للكمبيوتر ليتعرف كل العلاقات، للقضاء على التناقضات وإيجاد حل مرض.

الرياضيات والمنطق

وضعت الشهيرة جوتفريد Vilgelm Leybnits مفهوم "المنطق الرياضي"، التي كانت المهام من السهل أن نفهم سوى دائرة صغيرة من العلماء. أهمية خاصة هو الاتجاه لم يتسبب، وإلى منتصف القرن التاسع عشر من منطق رياضي معروف من قبل عدد قليل.

وتسبب اهتماما كبيرا في الأوساط العلمية نزاع الذي أعلنت فيه الانكليزي Dzhordzh بول عزمه على تأسيس فرع الرياضيات، وعدم وجود على الاطلاق اي فائدة عملية. كما نعرف من التاريخ، في هذا الوقت بنشاط بتطوير الإنتاج الصناعي، وضعنا جميع أنواع الأجهزة المساعدة، وكان ر. E. جميع الاكتشافات العلمية التوجه العملي.

واستشرافا للمستقبل، ونحن نقول أن الجبر البولي - الأكثر استخداما في العالم اليوم جزءا من الرياضيات. حتى فقدت حجتك بوهل.

Dzhordzh بول

شخصية المؤلف يستحق اهتماما خاصا. حتى في ضوء حقيقة أنه في الماضي كان الناس يكبرون أمامنا، لا يزال تجدر الإشارة إلى أنه في 16 سنة من جون. بوهل يدرس في مدرسة القرية، وفتح لمدة 20 عاما مدرسته الخاصة في لينكولن. رياضيات يتقن تماما خمس لغات أجنبية، وفي وقت فراغه، وكان يقرأ أعمال نيوتن ولاغرانج. وهذا كله - على نجل عامل العاديين!

في عام 1839، أرسلت بوهل أول ورقة علمية له في كامبريدج الرياضية اليومية. تحول العالم 24 سنة. العمل بوول هو المهتمين بذلك من الجمعية الملكية، في عام 1844 حصل على ميدالية لمساهمته في تطوير التحليل الرياضي. وقد وصف بعض الأبحاث المنشورة فيها عناصر المنطق الرياضي والرياضيات سمحت الشباب لأخذ منصب أستاذ في كلية مقاطعة كورك. أذكر أنه في التعليم بوول جدا لم يكن.

فكرة

من حيث المبدأ، والجبر منطقي بسيط جدا. هناك بيانات (منطقية عبارات) التي، من وجهة نظر والرياضيات، ويمكن تعريف فقط في كلمتين: "صحيح" أو "كاذبة". على سبيل المثال، والأشجار في إزهار الربيع - الحقيقة، في الصيف يثلج - كذبة. جمال الرياضيات هو أنه ليس من الضروري باتا استخدام أرقام فقط. لأحكام الجبر تناسب تماما أي بيانات ذات معنى فريدة من نوعها.

وهكذا، فإن جبر المنطق يمكن أن تستخدم حرفيا في كل مكان: في جدولة والكتابة التعليمات، وتحليل المعلومات المتضاربة حول الأحداث وتحديد سلسلة من الإجراءات. الشيء الأكثر أهمية - أن ندرك أن لا يهم كيف نحدد حقيقة أو زيف التصريحات. من هذه "كيف" و "لماذا" تحتاج إلى تجاهل. ما يهم هو إلا بيان الحقيقة: الحقيقة هي كذبة.

وبطبيعة الحال، برمجة أهم وظائف جبر المنطق التي يتم تسجيلها مع وجود علامات والرموز المناسبة. ونتعلم منها - وهو ما يعني أن تعلم لغة أجنبية جديدة. لا شيء مستحيل.

المفاهيم والتعريفات الأساسية

دون الخوض في عمق، ونحن نتعامل مع المصطلحات. لذلك، والجبر منطقي يفترض:

• البيانات.
• العمليات المنطقية.
• وظائف والقوانين.

بيانات - أي تعبير الإيجابي الذي يمكن أن يفسر قيمتها اثنين. مكتوبة على أنها أرقام (5> 3) أو صياغة الكلمات المألوفة (الفيل - أكبر الثدييات). في هذه الحالة، فإن عبارة "رقبة الزرافة ليست" لديها الحق في الوجود، فقط الجبر البولي تحدد بأنها "كذبة".

يجب أن تكون جميع البيانات لا لبس فيه، ولكنها قد تكون أساسية أو مركب. استخدام الزوار حزمة منطقية. E. في مجمع البيانات الجبر الأحكام التي شكلتها إضافة عمليات منطق الابتدائية.

عمليات الجبر منطقية

علينا أن نتذكر بالفعل أن العمليات في الجبر الأحكام - منطقية. كما أن الجبر الأعداد باستخدام العمليات الحسابية لإضافة أو طرح أو مقارنة الأرقام، عناصر المنطق الرياضية تسمح لجعل البيانات المعقدة، لمنع أو لحساب النتيجة النهائية.

العمليات المنطقية لإضفاء الطابع الرسمي والبساطة التي أعرب عنها الصيغة، مألوفة لنا في الحساب. خصائص معادلات الجبر منطقية تجعل من الممكن لتسجيل وحساب المجهول. العمليات المنطقية عادة ما يتم تسجيلها من قبل جدول الحقيقة. عناصره تعريف الأعمدة وعملية الحوسبة التي تتم عليها، والصفوف تظهر نتيجة الحسابات.

المنطق الأساسي للعمل

الأكثر شيوعا في عمليات الجبر المنطقية هي النفي (لا)، والمنطقية AND و OR. لذلك فمن الممكن أن يصف عمليا كافة الخطوات في الأحكام الجبر. درسنا بالتفصيل كل من هذه العمليات الثلاث.

يتم تطبيق النفي (لا) لعنصر واحد فقط (المعامل). لذلك، ويسمى العملية إنكار الأحادية. لتسجيل مفهوم "ليس" استخدام هذه الرموز: ¬A، A أو A !. في شكل جداول يبدو مثل هذا:

وظيفة رفض نموذجية من هذا البيان: إذا كان صحيحا، ثم أ - غير صحيح. على سبيل المثال، والقمر يدور حول الأرض - الحقيقة. تدور الأرض حول القمر - كذبة.

الضرب المنطقي وعلاوة على ذلك

ويسمى منطقية وعملية العطف. ماذا يعني ذلك؟ أولا، أنه يمكن تطبيقها على اثنين من المعاملات، أي I - .. العملية الثنائية. ثانيا، ما هي الا في حالة الحقيقة كل المعاملات (كلا A و B) والصحيح والتعبير عن نفسها. المثل، "الصبر والقليل من الجهد" يعني أن اثنين فقط من العوامل يمكن أن تساعد الشخص على التأقلم مع الصعوبات.

وتستخدم رموز للتسجيل: A∧B، A⋅B أو A && B.

بالتزامن يشبه الضرب في الحساب. في بعض الأحيان وأقول - الضرب المنطقي. إذا كنت مضاعفة عناصر من صفوف الجدول، وحصلنا على نتيجة مشابهة للتفكير المنطقي.

انفصال غير منطقية أو عملية. صحيح إذا واحد على الأقل من البيانات غير صحيح (إما A أو B). هو مكتوب مثل هذا: A∨B، A + B أو A || B. جدول الحقيقة لهذه العمليات هم:

انفصال إضافة حسابية مشابهة. عملية إضافة منطقية لديها واحد فقط تقييد: 1 + 1 = 1. ولكن علينا أن نتذكر أن في شكل رقمي يقتصر على المنطق الرياضي 0 و 1 (حيث 1 - الحقيقة 0 - كاذبة). على سبيل المثال، البيان "في المتحف يمكنك رؤية تحفة أو إيجاد شركة جيدة" يعني ما ترون الأعمال الفنية، وأنه من الممكن أن يلتقي شخص مثير للاهتمام. وفي الوقت نفسه، لا يستبعد إمكانية الوفاء في وقت واحد كلا الحدثين.

وظائف والقوانين

لذلك، ونحن نعلم بالفعل ما عملية منطقية باستخدام الجبر البولي. وظائف تصف كل خصائص عناصر المنطق الرياضي، وتسمح لنا لتبسيط البيانات مجمع المعقدة. أكثر واضحة وبسيطة يبدو الملكية رفضا للعمليات المشتقات. بواسطة مفهومة المشتقات XOR، ضمنا والتكافؤ. ونحن قد قرأت فقط مع العمليات الأساسية، ومن ثم الممتلكات هو أيضا النظر لهم فقط.

ترابطيات يعني أنه في عبارات مثل "كلا A و B، و B 'تسلسل قائمة من المعاملات لا يهم. يتم كتابة الصيغة كما يلي:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V،

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

كما ترون، هذه ليست فريدة من نوعها لبالتزامن لكن انفصال.

يقول تبديليه أن نتيجة اقتران أو انفصال لا يعتمد على الذي اعتبر البند في البداية:

A∧B = B∧A. A∨B = B∨A.

Distributivity يسمح بالكشف عن أقواس في التعبيرات المنطقية المعقدة. قواعد مماثلة لقوس فتح في الضرب وبالإضافة إلى ذلك في الجبر:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V. A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

خصائص وحدة والصفر، والتي يمكن أن تكون واحدة من المعاملات هي أيضا مشابهة لتكاثر جبري على صفر أو واحد، وإضافة وحدة:

A∧0 = 0، A∧1 = A؛ A∨0 = A، A∨1 = 1.

Idempotency يخبرنا أنه إذا نسبيا اثنين متساوية المعاملات نتيجة العملية هي نفسها، يمكنك "رمي" الزائدة المعاملات تعقيد المنطق. والعمليات بالتعاون وانفصال هي idempotent.

B∧B = B؛ B∨B = B.

كما يسمح لنا اقتناء لتبسيط المعادلة. وينص امتصاص أنه عندما يتم تطبيق التعبير إلى المعامل عملية واحدة أخرى مع نفس عنصر من المعامل نتيجة يمتص العملية.

A∧B∨B = B؛ (A∨B) ∧B = B.

تسلسل العمليات

تسلسل العمليات هو من أهمية كبيرة. في الواقع، وعلى سبيل الجبر، هناك وظيفة ذات الأولوية التي يستخدم الجبر البولي. الصيغ يمكن تبسيط يخضع إلا لأهمية هذه العمليات. ترتيب أهم بحيث لا يعتد بها، ونحن الحصول على التسلسل التالي:

1. الحرمان.

2. حروف العطف.

3. انفصال، XOR.

4. ضمنا، التكافؤ.

كما ترون، إلا أن نفي جنبا إلى جنب وليس لديهم أولوية متساوية. ومن أولويات انفصال وXOR على قدم المساواة، فضلا عن أولويات ضمنا والتكافؤ.

وظائف ضمنا والتكافؤ

وكما قلنا، بالإضافة إلى العمليات المنطقية الأساسية، والمنطق الرياضي ونظرية الخوارزميات باستخدام المشتقات. ومن غالبا ما يكون ضمنيا والتكافؤ.

المعنى الضمني أو نتيجة منطقية - هذا البيان، الذي عمل واحد هو شرط، والآخر - نتيجة لتنفيذه. وبعبارة أخرى، هذا الاقتراح بحجة "إذا ... ثم". "بعد العشاء يأتي الحساب". E. ليقود إلى تشديد على تلة مزلقة. إذا لم يكن هناك رغبة للانتقال إلى الأسفل من الجبل، ثم اسحب مزلقة ليست ضرورية. هو مكتوب حتى: A → B أو A⇒B.

التكافؤ يعني أن الأثر الصافي يحدث فقط عند كل المعاملات الحقيقية. على سبيل المثال، ليلة يعطي وسيلة ليوم ثم (وعندها فقط)، عندما تشرق الشمس فوق الأفق. في لغة المنطق الرياضي لهذا البيان هو مكتوب كما A≡B، A⇔B، A == B.

قوانين أخرى من الجبر البولي

تطور الجبر الحكم، وكثير من العلماء المهتمين لصياغة قوانين جديدة. الأكثر شهرة تعتبر المسلمات عالم الرياضيات الاسكتلندي O. دي مورغان. لاحظ، وقدم تعريفا للخصائص مثل نفي وثيق، والجمع والنفي المزدوج.

وتشير وثيقة إنكار أنه قبل قوسين هو من ينكر: لا (A أو B) = لا A أو B. NOT

عندما تم رفض المعامل، بغض النظر عن قيمتها، ويقول حول بالإضافة إلى ذلك:

B∧¬B = 0؛ B∨¬B = 1.

وأخيرا، فإن النفي المزدوج نفسه يعوض. أي قبل يختفي إما النفي أو المعامل لا تزال واحدة فقط.

كيفية حل اختبارات

المنطق يقتضي تبسيط محددة سلفا المعادلات. مثلما هو الحال في الجبر كذبة، فمن الضروري لتسهيل الحد الأقصى الشرط الأول (للتخلص من عمليات الإدخال معقدة، ومعهم)، ثم البدء في البحث عن الإجابة الصحيحة.

ما يجب القيام به لتبسيط؟ تحويل جميع المشتقات في عملية بسيطة. ثم كشف عن كل الأقواس (أو العكس بالعكس، لجعل الأقواس للحد من هذا العنصر). وينبغي أن تكون الخطوة التالية لاستخدام خصائص الجبر منطقية من الناحية العملية (خصائص امتصاص صفر واحد، ور.).

في نهاية المطاف، يجب أن تتكون معادلة الحد الأدنى لعدد المجاهيل، جنبا إلى جنب مع عمليات بسيطة. أسهل طريقة للبحث عن حل، إذا قمت بإجراء عدد كبير من السلبيات وثيقة. ثم الجواب سوف يطفو على السطح كما لو في حد ذاته.