منطقة قاعدة المنشور: من الثلاثي إلى متعدد الأضلاع

تختلف المواشير المختلفة عن بعضها البعض. وفي الوقت نفسه، لديهم الكثير من القواسم المشتركة. للعثور على مساحة قاعدة المنشور، سيكون من الضروري أن نفهم أي نوع لديه.

نظرية عامة

المنشور هو أي متعدد الأطراف التي الجانبين الجانبي لها شكل متوازي الاضلاع. في هذه الحالة، يمكن أن يكون أي بولهيدرون - من مثلث إلى n-غون. وأسس المنشور دائما متساوية مع بعضها البعض. ما لا ينطبق على وجوه جانبية - أنها يمكن أن تختلف اختلافا كبيرا في الحجم.

في حل المشاكل، وليس فقط منطقة قاعدة المنشور مواجه. قد يكون من الضروري معرفة السطح الجانبي، أي، من جميع الوجوه التي ليست قواعد. وسوف يكون سطح كامل بالفعل اتحاد جميع الوجوه التي تشكل المنشور.

أحيانا في المهام هناك ارتفاع. فمن عمودي على القواعد. قطري من متعدد السطوح هو الجزء الذي ينضم اثنين من القمم في أزواج التي لا تنتمي إلى نفس الوجه.

وتجدر الإشارة إلى أن منطقة قاعدة المنشور المباشر أو منحرف لا تعتمد على زاوية بينهما والوجوه الجانبية. إذا كان لديهم نفس الأرقام في الوجوه العليا والسفلى، فإن مناطقهم ستكون متساوية.

المنشور الثلاثي

لديها في قاعدة شخصية مع ثلاث رؤوس، وهذا هو، مثلث. كما تعلمون، يحدث أن تكون مختلفة. إذا كان المثلث مستطيلا، فإنه يكفي أن نذكر أن منطقتها يتم تحديدها من قبل نصف المنتج من الساقين.

ويكون التدوين الرياضي كما يلي: S = ½ أف.

للعثور على مساحة قاعدة المنشور الثلاثي في شكل عام، والصيغ التالية ستكون مفيدة: هيرون واحد الذي يتم أخذ نصف الجانب إلى الارتفاع تعادل إليها.

وينبغي كتابة الصيغة الأولى على النحو التالي: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). في هذا السجل هناك نصف نصف (p)، وهذا هو، مجموع ثلاثة جوانب مقسمة إلى قسمين.

والثاني: S = ½ n _a * a.

إذا كنت تريد أن تعرف مساحة قاعدة المنشور الثلاثي، وهو الصحيح، ثم المثلث متساوي الأضلاع. بالنسبة له، هناك صيغة: S = ¼ a ² * √3.

منشور رباعي الأضلاع

أساسها هو أي من المربعات المعروفة. يمكن أن يكون مستطيل أو مربع، متوازي أو المعين. في كل حالة، من أجل حساب مساحة قاعدة المنشور، نحن بحاجة إلى صيغة خاصة بنا.

إذا كانت القاعدة مستطيل، يتم تعريف منطقتها على النحو التالي: S = أف، حيث a، و - جانبي المستطيل.

عندما يتعلق الأمر بمنشور رباعي الأضلاع، يتم حساب مساحة قاعدة المنشور الصحيح بواسطة صيغة الساحة. لأنه هو الذي يقع في القاع. S = a ² .

وفي الحالة التي تكون فيها القاعدة متوازية، ستكون هناك حاجة إلى المساواة التالية: S = a * n _a . يحدث أن يتم إعطاء جانب من متوازي مع واحدة من الزوايا. ثم، لحساب الارتفاع، نحتاج إلى استخدام الصيغة الإضافية: _a = b * سين A. وعلاوة على ذلك، فإن الزاوية A متاخمة للجانب "c"، ويكون الارتفاع مقابل هذه الزاوية.

إذا كان المعين يكمن في قاعدة المنشور، ثم لتحديد منطقتها، وسوف تكون هناك حاجة إلى نفس الصيغة لمتوازي الاضلاع (نظرا لأنه هو حالته الخاصة). ولكن يمكننا أيضا استخدام هذا: S = 1 د ₁ د ₂ . هنا d ₁ و d ₂ هما قطرتين من المعين.

صحيح المنشور خماسية

هذه الحالة تنطوي على تقسيم المضلع إلى مثلثات المناطق التي يسهل تعلمها. على الرغم من أنه يحدث أن الأرقام يمكن أن يكون مع عدد مختلف من القمم.

منذ قاعدة المنشور هو البنتاغون العادية، ويمكن تقسيمها إلى خمسة مثلثات متساوية الأضلاع. ثم منطقة قاعدة المنشور تساوي مساحة مثلث واحد (الصيغة يمكن رؤيتها أعلاه) مضروبة في خمسة.

الصحيح المنشور سداسية

وفقا لمبدأ وصفها لمؤشر خماسية، فمن الممكن لكسر مسدس القاعدة إلى 6 مثلثات متساوية الأضلاع. صيغة منطقة قاعدة مثل هذا المنشور مماثلة لتلك السابقة. فقط في منطقة مثلث متساوي الأضلاع يجب ضرب في ستة.

الصيغة تبدو مثل: S = 3/2 و ² * √3.

المهام

№ 1. ويعطى المنشور الصحيح رباعي الأضلاع الصحيحة. قطرها هو 22 سم، وارتفاع متعدد السطوح هو 14 سم حساب مساحة قاعدة المنشور والسطح بأكمله.

الحل. قاعدة المنشور هو مربع، ولكن جانبها غير معروف. يمكن العثور على قيمته من قطري مربع (x)، الذي يرتبط مع قطري من المنشور (د) وارتفاعه (ن). X ² = d ² - n ² . من ناحية أخرى، هذا الجزء "س" هو وتر في المثلث، والساقين منها تساوي الجانب من مربع. وهذا هو، x ² = a ² + a ² . وهكذا، اتضح أن ² = (d ² - н ² ) / 2.

لاستبدال د مع 22، و "н" لاستبدالها مع 14، اتضح أن الجانب من مربع هو 12 سم الآن فقط معرفة مساحة القاعدة: 12 * 12 = 144 سم ² .

لمعرفة مساحة السطح بأكمله، تحتاج إلى إضافة ضعف قيمة منطقة قاعدة والجانب الرباعي. ويمكن العثور على هذا الأخير بسهولة من صيغة لمستطيل: مضاعفة ارتفاع متعدد السطوح والجانب من القاعدة. وهذا هو، 14 و 12، فإن هذا العدد يساوي 168 سم ² . المساحة الإجمالية للمنشور هي 960 سم ² .

الجواب. منطقة قاعدة المنشور هو 144 سم ² . السطح بأكمله هو 960 سم ² .

رقم 2. يتم إعطاء المنشور الثلاثي الصحيح. في القاعدة تقع مثلث مع جانب من 6 سم، وفي الوقت نفسه، قطري من الوجه الوحشي هو 10 سم حساب المناطق: قاعدة والسطح الجانبي.

الحل. منذ المنشور هو الصحيح، قاعدته هو مثلث متساوي الأضلاع. ولذلك، فإن منطقته تساوي 6 في المربع مضروبا في ¼ والجذر التربيعي 3. حساب بسيط يؤدي إلى النتيجة: 9√3 سم ² . هذا هو مجال قاعدة واحدة من المنشور.

جميع الوجوه الجانبية هي نفسها وتمثل مستطيلات مع الجانبين من 6 و 10 سم.حساب مناطقهم، وهو ما يكفي لمضاعفة هذه الأرقام. ثم ضربها من قبل ثلاثة، لأن هناك الكثير من حواف جانبية من المنشور. ثم يتم جرح مساحة السطح الجانبي إلى 180 سم ² .

الجواب. المنطقة: قاعدة 9√3 سم ² ، والسطح الجانبي للمنشور هو 180 سم ² .