غير محدود إلى أجل غير مسمى. حساب تكامل لأجل غير مسمى

واحدة من الفروع الأساسية للتحليل الرياضي هو حساب التفاضل والتكامل متكاملة. وهو يغطي أوسع مجال من الكائنات، حيث الأول هو لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى. لوضعه هو مثل مفتاح، أنه حتى في المدرسة الثانوية يكشف عن عدد متزايد من الفرص والفرص، والتي وصفها الرياضيات أعلى.

مظهر

للوهلة الأولى، يبدو أن التكامل الحديث تماما، ذات الصلة، ولكن في الممارسة تبين أن ظهرت في عام 1800 قبل الميلاد. الوطن يعتبر رسميا مصر، لأننا لم تحصل على أدلة سابقة على وجودها. انه، بسبب نقص المعلومات، كل هذا الوقت وضعه تماما كظاهرة. وأكد مرة أخرى مستوى تطور العلم بين شعوب تلك الأوقات. وأخيرا، تم العثور على أعمال علماء الرياضيات اليونانية القديمة التي يعود تاريخها إلى القرن الرابع قبل الميلاد. ووصفوا طريقة حيث تم تطبيق جزء لا يتجزأ من أجل غير محدد، وكان جوهره هو العثور على حجم أو مساحة الرقم المنحني (ثلاثي الأبعاد وطائرات ثنائية الأبعاد، على التوالي). واستند مبدأ الحساب إلى تقسيم الرقم الأصلي إلى مكونات غير متناهية الصغر، شريطة أن يكون حجم (مساحة )ها معروفا بالفعل. مع مرور الوقت، نمت الطريقة، استخدم أرخميدس للعثور على منطقة القطع المكافئ. أجريت حسابات مماثلة في نفس الوقت من قبل العلماء في الصين القديمة، وعلاوة على ذلك كانوا مستقلين تماما عن الإخوة اليونانيين في العلوم.

تنمية

كان الاختراق التالي في القرن الحادي عشر الميلادي عمل "أبو علي البصري" العربي، الذي مدد حدود ما كان معروفا بالفعل، من خلال استنتاج على أساس التكامل الصيغ لحساب مبالغ السلسلة ومجموع الصلاحيات من الأول إلى الرابع، طريقة الحث الرياضي.
العقول الحديثة معجب كيف أن المصريين القدماء خلقت الآثار المعمارية مذهلة، من دون أي تعديلات خاصة، إلا ربما أيديهم، ولكن ليس قوة عقول العلماء في ذلك الوقت لا تقل معجزة؟ بالمقارنة مع العصر الحالي، حياتهم تبدو بدائية تقريبا، ولكن تم استخلاص الحل من تكامل لأجل غير مسمى في كل مكان، وكان يستخدم في الممارسة لمزيد من التطوير.

وقعت الخطوة التالية في القرن السادس عشر، عندما استخلص عالم الرياضيات الإيطالي كافاليري طريقة غير قابلة للتجزئة، والتي التقطها بيير فيرمات. فمن هذين الأفراد التي وضعت الأساس لحساب التفاضل والتكامل الحديثة التي تعرف في الوقت الراهن. وربطوا مفهومي التمايز والتكامل اللذين كانا ينظر إليهما في السابق على أنهما وحدات مستقلة. وعموما، كانت الرياضيات في تلك الأوقات مجزأة، وكانت جسيمات الاستنتاجات موجودة في حد ذاتها، ولها مجال محدود للتطبيق. كان طريق التوحيد والبحث عن أرضية مشتركة هو الصحيح الوحيد في ذلك الوقت، وذلك بفضل له الحديث التحليل الرياضي كان قادرا على النمو والتطور.

مع مرور الوقت، تغير كل شيء، وتعيين التكامل أيضا. بشكل عام، كان يرمز إليه العلماء الذين، أكثر من ذلك، على سبيل المثال، نيوتن يستخدم رمز مربع الذي وضع وظيفة إنتغرابل أو ببساطة وضعه بجانبه. استمر هذا الخلاف حتى القرن السابع عشر، عندما قدم عالم مبدع غوتفريد ليبنيز رمز مألوف جدا بالنسبة لنا لنظرية التحليل الرياضي كله. ويستمد "S" امتدت حقا على هذه الرسالة من الأبجدية اللاتينية، لأنه يدل على مجموع من أنتيبوديس. أعطى الاسم إلى التكامل من قبل جاكوب برنولي بعد 15 عاما.

التعريف الرسمي

يعتمد التكامل إلى أجل غير مسمى بشكل مباشر على تعريف مضاد الأكسدة، لذا فكر أولا.

البدائية هي وظيفة معكوس إلى مشتق، في الممارسة العملية كما يطلق عليه بدائية. وإلا: أنتيديريفاتيف الدالة د هي دالة التي مشتق هو v <=> V '= v. البحث عن أنتيديريفاتيف هو حساب لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى، وتسمى العملية نفسها التكامل.

على سبيل المثال:

الدالة s (y) = y ³ ، و أنتيديريفاتيف S (y) = (y 4/4).

وتعتبر مجموعة جميع مضادات الدالة قيد النظر تكاملا غير محدد؛ ويشار إليها على النحو التالي: ∫v (x) دكس.

وبما أن V (x) ليست سوى بعض البدائية من الدالة الأصلية، لدينا التعبير: ∫v (x) دكس = V (x) + C، حيث C ثابت. ويفهم الثابت التعسفي على أنه أي ثابت، لأن مشتقه هو صفر.

خصائص

وتستند العقارات التي لا تكفي إلى حد ما إلى التعريف الأساسي وخصائص المشتقات.
النظر في النقاط الرئيسية:

• إن تكامل المضادات الحيوية هو في حد ذاته أنتيديريفاتيف بالإضافة إلى ثابت التعسفي C <=> ∫V '(x) دكس = V (x) + C؛
• مشتق تكامل الدالة هو الدالة الأولية <=> (∫v (x) دكس) '= v (x)؛
• ويؤخذ الثابت من علامة التكامل <=> ∫kv (x) دكس = كوف (x) دكس، حيث k تعسفي؛
• والتكامل الذي يتم أخذه من المجموع يساوي تقريبا مجموع التكاملات <=> ∫ (v (y) + w (y)) دي = ∫v (y) دي + ∫w (y) دي.

من آخر اثنين من الخصائص يمكن استنتاج أن التكامل إلى أجل غير مسمى هو الخطية. وبسبب هذا، لدينا: ∫ (كف (y) دي + ∫ لو (y)) دي = كوف (y) دي + لو (y) دي.

لإصلاح، ونحن نعتبر أمثلة على حلول تكامل لأجل غير مسمى.

من الضروري العثور على التكامل ∫ (3sinx + 4cosx) دكس:

• ∫ (3sinx + 4cosx) دكس = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

من المثال يمكننا أن نستنتج: لا أعرف كيفية حل تكامل لأجل غير مسمى؟ فقط تجد كل أنتيبيبيكال! وهنا مبادئ البحث أدناه.

الطرق والأمثلة

من أجل حل التكامل، يمكننا اللجوء إلى الطرق التالية:

• استخدام الجدول النهائي.
• دمج أجزاء.
• دمج عن طريق تغيير متغير.
• الملخص تحت علامة التفاضل.

الجداول

الطريقة الأسهل والأكثر متعة. في هذه اللحظة، يمكن أن يتباهى التحليل الرياضي من جداول واسعة إلى حد ما، والتي وصفت الصيغ الأساسية من تكاملات غير محددة. وبعبارة أخرى، هناك قوالب، مشتقة قبل لك وبالنسبة لك، فإنه يبقى فقط لاستخدامها. وفيما يلي قائمة بمواقف الجداول الرئيسية التي يمكن استخلاص كل مثال تقريبا لها حل:

• ∫0dy = C، حيث C ثابت.
• ∫dy = y + C، حيث C ثابت؛
• ∫y ⁿ دي = (y ^{n + 1} ) / (n + 1) + C، حيث C ثابت، و n هو رقم غير صفري؛
• ∫ (1 / y) دي = لن | y | + C، حيث C ثابت؛
• ∫e ^y دي = e ^y + C، حيث C ثابت؛
• ∫k ^y دي = (k ^y / لن k) + C، حيث C ثابت؛
• ∫cosydy = سيني + C، حيث C هو ثابت.
• ∫sinydy = -cosy + C، حيث C هو ثابت.
• ∫dy / كوز ² y = تغي + C، حيث C ثابت؛
• ∫dy / سين ² y = -ctgy + C، حيث C ثابت؛
• ∫dy / (1 + y ² ) = أركتي + C، حيث C ثابت؛
• ∫chydy = خجولة + C، حيث C هو ثابت.
• ∫shydy = خجولة + C، حيث C هو ثابت.

إذا لزم الأمر، واتخاذ بضع خطوات، وجلب إنتيغيراند إلى عرض الجدول والتمتع النصر. مثال: ∫cos (5x -2) دكس = 1 / 5∫cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x سين (5x-2) + C.

من الواضح أنه بالنسبة للمثال مثال، لا يحتوي التكامل على مضاعف 5. نضيفه، مضروبا في 1/5 بالتوازي، بحيث لا يتغير التعبير العام.

التكامل من أجزاء

النظر في وظيفتين - z (y) و x (y). ولا بد من التمييز بشكل مستمر في مجال التعريف الكامل. من خلال واحدة من خصائص التمايز لدينا: د (شز) = شدز + زدكس. دمج كلا الجانبين من المساواة، نحصل على: ∫d (شز) = ∫ (شدز + زدكس) => زكس = ∫zdx + ∫xdz.

إعادة كتابة المعادلة الناتجة، نحصل على الصيغة التي تصف طريقة التكامل من قبل أجزاء: ∫zdx = زكس - ∫xdz.

لماذا هو ضروري؟ والحقيقة هي أن بعض الأمثلة لديها الفرصة لتبسيط، من الناحية المشروطة، والحد من ∫zdx إلى ∫xdz، إذا كان هذا الأخير على مقربة من شكل جدولي. أيضا، هذه الصيغة يمكن تطبيقها أكثر من مرة، تحقيق النتيجة المثلى.

كيفية حل تكاملات لأجل غير مسمى بهذه الطريقة:

• ومن الضروري حساب ∫ (s + 1) e ^2s دس

(x + 1) e ^2s دس = {z = s + 1، دز = دس، y = 1 / 2e ^2s ، دي = e ^2x دس} = ((s + 1) e ^2s ) / 2-1 / 2 ∫e ^2s دكس = ((s + 1) e ^2s ) / 2-e ^2s / 4 + C؛

• تحتاج إلى حساب ∫lnsds

∫s = لنس، دز = دس / s، y = s، دي = دس} = سلنس - ∫s x دس / s = سلنس - ∫ds = سلنس -s + C = s (لس-1) C.

استبدال متغير

وهذا المبدأ المتمثل في حل التكاملات لأجل غير مسمى لا يقل مطلبا عن الطلبين السابقين، على الرغم من أنه أكثر تعقيدا. وتتكون الطريقة مما يلي: ترك V (x) جزءا لا يتجزأ من بعض الدالة v (x). في حال أن التكامل نفسه في المثال معقد، هناك فرصة كبيرة للحصول على الخلط والذهاب بطريقة خاطئة. ولتجنب ذلك، يمارس الانتقال من المتغير x إلى z، حيث يتم تبسيط التعبير العام بصريا عند الإبقاء على اعتماد z على x.

في اللغة الرياضية، يبدو هذا: ∫v (x) دكس = ∫v (y (z)) y '(z) دز = V (z) = V (y ^-1 (x))، حيث x = y Z) هو التقليب. وبطبيعة الحال، فإن الدالة العكسية z = y ^-1 (x) تصف تماما التبعية والترابط بين المتغيرات. ملاحظة هامة هي أن دكس التفاضلية يستبدل بالضرورة دز التفاضلي الجديد، حيث أن استبدال متغير في لا يتجزأ إلى حد ما يعني استبدالها في كل مكان، وليس فقط في إنتيغانداند.

على سبيل المثال:

• من الضروري إيجاد ∫ (s + 1) / (s ² + 2s - 5) دس

نطبق الاستبدال z = (s + 1) / (s ² + 2s-5). ثم دز = 2sds = 2 + 2 (s + 1) دس <=> (s + 1) دس = دز / 2. ونتيجة لذلك، نحصل على التعبير التالي، وهو سهل جدا لحساب:

∫ (s + 1) / (s ² + 2s-5) دس = ∫ (دز / 2) / z = 1 / 2ln | z | + C = 1 / 2ln | s ² + 2s-5 | + C؛

• ومن الضروري إيجاد التكامل ∫2 ^s e ^s دكس

من أجل الحل، نقوم بإعادة كتابة التعبير في النموذج التالي:

∫2 ^s e ^s دس = ∫ (2e) ^s دس.

ونحن ندلل من قبل a = 2e (عن طريق استبدال الوسيطة هذه الخطوة ليست، فإنه لا يزال ق)، نعطي، للوهلة الأولى، لا يتجزأ معقدة، إلى شكل جدول الابتدائي:

(2e) ^s دس = ∫a ^s دس = ^s / لنا + C = (2e) ^s / لن (2e) + C = ^{s s} / لن (2 + لين) + C = ^{s s s} / (Ln2 + 1) + C.

رسم تحت علامة الفرق

بشكل عام، هذه الطريقة من تكامل لأجل غير مسمى هو شقيق التوأم من مبدأ استبدال متغير، ولكن هناك اختلافات في عملية التصميم. دعونا ننظر أكثر تفصيلا.

إذا كان ∫v (x) دكس = V (x) + C و y = z (x)، ثم ∫v (y) دي = V (y) + C.

وفي الوقت نفسه، ينبغي ألا ننسى التحولات التكاملية التافهة، ومنها:

• دكس = d (x + a)، حيث يكون أي ثابت؛
• دكس = (1 / a) d (يكس + b)، حيث تكون ثانية ثابتة، ولكن لا تساوي الصفر؛
• شدكس = 1 / 2d (x2 + b)؛
• سينكسدكس = -d (كوكس)؛
• كوسكسدكس = d (سينكس).

إذا نظرنا في الحالة العامة عندما نحسب جزءا لا يتجزأ من أجل غير مسمى، يمكن تخفيض الأمثلة إلى الصيغة العامة w '(x) دكس = دو (x).

الأمثلة على ذلك:

• من الضروري العثور على ∫ (2s + 3) ² دس، دس = 1 / 2d (2s + 3)

(2s + 3) ² دس = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ² ) / 3 + C = (1/6) X (2s + 3) ² + C؛

∫tgsds = ∫sins / كوسدز = ∫d (كوس) / كوس = -ln | كوس | + C.

مساعدة عبر الإنترنت

في بعض الحالات، والذنب الذي يمكن أن يكون إما الكسل أو حاجة ملحة، يمكنك استخدام النصائح على الانترنت، أو بالأحرى، واستخدام آلة حاسبة من تكاملات غير مؤكد. على الرغم من كل التعقيد الظاهري والجدل من التكامل، حلها يخضع لخوارزمية معينة، والتي بنيت على مبدأ "إن لم يكن ...، ثم ...".

وبطبيعة الحال، لا يمكن أن تتقن الأمثلة المعقدة بشكل خاص مثل هذه الآلة الحاسبة، لأن هناك حالات عندما يكون الحل يجب العثور عليها بشكل مصطنع، "قسرا" إدخال عناصر معينة في هذه العملية، لأنه لا يمكن تحقيق طرق واضحة للنتيجة. على الرغم من كل الجدل في هذا البيان، صحيح، لأن الرياضيات، من حيث المبدأ، هو العلم المجرد، وتعتبر مهمتها الأساسية لتوسيع حدود الاحتمالات. في الواقع، من الصعب للغاية أن نتحرك صعودا ونطور على نحو سلس في النظريات، لذلك لا نفترض أن الأمثلة على حل التكامل إلى أجل غير مسمى التي قدمناها هي أعلى من الاحتمالات. ومع ذلك، دعونا نعود إلى الجانب التقني لهذه المسألة. على الأقل للتحقق من الحسابات يمكنك استخدام الخدمات التي كتب كل شيء من قبلنا. إذا كان هناك حاجة لحساب التلقائي للتعبير المعقدة، فإنها لا يمكن الاستغناء عنها، سيكون لديك لجوء إلى برامج أكثر خطورة. ومن الجدير بالاهتمام أولا وقبل كل شيء إلى بيئة ماتلاب.

تطبيق

الحل من تكامل لأجل غير مسمى للوهلة الأولى يبدو مطلقا تماما من الواقع، لأنه من الصعب أن نرى الطائرات تطبيق واضح. وفي الواقع، لا يمكن استخدامها مباشرة في أي مكان، ولكنها تعتبر عنصرا وسيطا لا غنى عنه في عملية رسم القرارات التي تستخدم في الممارسة العملية. ومن ثم، فإن الاندماج متباين عكسيا، الذي يشارك فيه بنشاط في عملية حل المعادلات.
في المقابل، هذه المعادلات لها تأثير مباشر على حل المشاكل الميكانيكية، وحساب المسارات والموصلية الحرارية - باختصار، كل ما يشكل الحاضر ويشكل المستقبل. والتكامل غير المحدود، الأمثلة التي نظرنا إليها أعلاه، ليس تافها إلا للوهلة الأولى، حيث أنه الأساس لصنع المزيد والمزيد من الاكتشافات الجديدة.