المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. قوانين نظرية الاحتمالات

كثير من الناس، عندما تواجه مع مفهوم "نظرية الاحتمالات"، خائفا، ويعتقد أنه هو شيء لا يطاق، من الصعب جدا. لكنها في الواقع ليست مأساوية جدا. اليوم ونحن ننظر في المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات، وتعلم أن حل المشاكل التي أمثلة ملموسة.

علم

ما يدرس فرع من الرياضيات بأنها "نظرية الاحتمالات"؟ ويلاحظ أنماط من الأحداث العشوائية والمتغيرات. لأول مرة قضية العلماء المهتمين في القرن الثامن عشر، عندما درس القمار. المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات - الحدث. ومن أي أن ذكرت من قبل الخبرة أو المراقبة. ولكن ما هو التجربة؟ آخر المفهوم الأساسي لنظرية الاحتمالات. وهو ما يعني أن هذا الجزء من الظروف لا يتم إنشاء قصد، ومع الغرض. وفيما يتعلق المراقبة، وهناك الباحث نفسه لا يشارك في التجربة، ولكن ببساطة شاهدا على هذه الأحداث، فإنه ليس له تأثير على ما يحدث.

أحداث

علمنا أن المفهوم الأساسي للنظرية الاحتمالات - الحدث، ولكن لم تنظر التصنيف. وتنقسم كل منها إلى الفئات التالية:

• يمكن الاعتماد عليها.
• من المستحيل.
• عشوائية.

بغض النظر عن ما هو الحدث الذي يجري شاهدت أو التي تم إنشاؤها في مسار التجربة، تتأثر من قبل هذا التصنيف. ونحن نقدم كل نوع من لقاء على حدة.

حدث معين

هذا هو الواقع الذي جعل مجموعة من الأنشطة الضرورية. من أجل فهم أفضل لجوهر، فمن الأفضل لإعطاء بعض الأمثلة. هذا هو المرؤوس للقانون والفيزياء والكيمياء والاقتصاد والرياضيات العليا. وتشمل نظرية الاحتمالات مثل هذا المفهوم الهام كحدث كبير. وفيما يلي بعض الأمثلة:

• ونحن نعمل والحصول على مكافآت في شكل أجور.
• حسنا مرت الامتحانات، وافق على المنافسة له الحصول على مكافأة في شكل القبول في مؤسسة تعليمية.
• لقد استثمرت المال في البنك، والحصول عليها مرة أخرى إذا لزم الأمر.

مثل هذه الأحداث صحيحة. وإذا كنا قد استوفت جميع الشروط اللازمة، كن متأكدا من الحصول على النتيجة المتوقعة.

الحدث المستحيل

الآن علينا النظر في عناصر نظرية الاحتمال. ونحن نقدم للذهاب إلى توضيحات في الأنواع التالية من الأحداث - وهي مستحيلة. لبدء تنص على القاعدة الأكثر أهمية - احتمال حدوث الحدث المستحيل هو صفر.

من هذه الصيغة لا يمكن الانتقاص في حل المشاكل. لتوضيح أمثلة على مثل هذه الأحداث:

• يتم تجميد الماء في درجة حرارة زائد عشرة (من المستحيل).
• نقص الكهرباء لا يؤثر على إنتاج (مستحيل كما في المثال السابق).

مزيد من الأمثلة تعطى ليست ضرورية، كما هو موضح أعلاه بشكل واضح جدا تعكس جوهر هذه الفئة. لم يحدث الحدث المستحيل خلال التجربة تحت أي ظرف من الظروف.

الأحداث العشوائية

من خلال دراسة عناصر نظرية الاحتمالات، ينبغي إيلاء اهتمام خاص لنوع معين من الحدث. هؤلاء هم الذين يدرسون هذا العلم. ونتيجة لتجربة شيء يمكن أن يحدث أو لا. وبالإضافة إلى ذلك، فإن الاختبار يمكن حملها على عدد غير محدود من انقضاء المهلة. ومن الأمثلة البارزة:

• إرم عملة - أنها تجربة أو اختبار، وفقدان نسر - هذا الحدث.
• سحب الكرة من حقيبة عمياء - الاختبار، تم القبض الكرة الحمراء - هذا الحدث، وهلم جرا.

ويمكن لهذه الأمثلة يكون عدد غير محدود، ولكن، بشكل عام، لا يجب أن يفهم. لتلخيص وتنظيم المعارف المكتسبة حول أحداث الطاولة. دراسات نظرية الاحتمالات فقط هذا النوع الأخير من كل عرض.

قوانين

نظرية الاحتمالات - العلم الذي يدرس إمكانية فقدان أي حال. مثل الآخرين، لديه بعض القواعد. القوانين التالية نظرية الاحتمالات:

• تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية.
• قانون الأعداد الكبيرة.

عند حساب احتمال وجود مجمع يمكن استخدامها أحداث بسيطة معقدة لتحقيق نتائج أسهل وأسرع طريقة. وتجدر الإشارة إلى أن قوانين نظرية الاحتمالات يمكن أثبتت بسهولة مع مساعدة من بعض النظريات. نقترح البدء للتعرف على أول قانون.

تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية

لاحظ أن التقارب بين عدة أنواع:

• تسلسل المتغيرات العشوائية التقارب في الاحتمال.
• من المستحيل تقريبا.
• RMS التقارب.
• التقارب في التوزيع.

لذا، على الطاير، فإنه من الصعب جدا لفهم جوهر. وفيما يلي التعاريف التي من شأنها أن تساعد على فهم الموضوع. لتبدأ أول نظرة. ويطلق على تسلسل التقارب في الاحتمال، إذا كان الشرط التالية: ن النهج لا نهاية، وعدد يسعى إليه تسلسل أكبر من الصفر وعلى مقربة من وحدة.

انتقل إلى عرض القادم، من شبه المؤكد. يقولون أن تسلسل يتقارب بشكل شبه مؤكد إلى متغير عشوائي مع ن يميل إلى ما لا نهاية، وR، تميل إلى قيمة قريبة من الوحدة.

نوع المقبل - تقارب RMS. عند استخدام التقارب التعلم SC العمليات العشوائية ناقلات يقلل لدراسة العمليات العشوائية تنسيق.

كان نوع آخر، دعونا ننظر لفترة وجيزة وللذهاب مباشرة في حل المشاكل. التقارب في التوزيع له اسم آخر - "ضعيفة"، ثم شرح لماذا. التقارب الضعيف - هو التقارب وظائف التوزيع في جميع نقاط استمرارية دالة التوزيع الحد.

ومن المؤكد أن الوفاء بالوعد: التقارب الضعيف يختلف عن كل ما سبق أن لم يتم تعريف متغير عشوائي على مساحة الاحتمالات. وهذا ممكن لأن الشرط شكلت حصرا باستخدام وظائف التوزيع.

قانون الأعداد الكبيرة

سوف مساعد كبير في إثبات القانون أن يكون النظريات نظرية الاحتمالات، مثل:

• عدم المساواة تشيبيشيف.
• نظرية تشيبيشيف ل.
• تعميم نظرية تشيبيشيف.
• ماركوف نظرية.

إذا أخذنا في الاعتبار كل هذه النظريات، ثم قد تأخذ المسألة عدة عشرات من الأوراق. لدينا المهمة الرئيسية - هو تطبيق نظرية الاحتمالات في الممارسة العملية. نحن نقدم لك الآن ونفعل ذلك. ولكن قبل أن تنظر في بديهيات نظرية الاحتمالات، هم الشركاء الرئيسيين في حل المشاكل.

البديهيات

من البداية، وقد شهدنا بالفعل، عندما نتحدث عن الحدث المستحيل. دعونا نتذكر: احتمال وقوع حدث المستحيل هو صفر. مثال أعطينا واضحة جدا وتنسى: سقط الثلج في درجة حرارة الهواء وثلاثين درجة مئوية.

والثاني هو كما يلي: حدوث حدث معين مع وحدة الاحتمالات. الآن سوف نظهر كيف هو مكتوب مع مساعدة من اللغة الرياضية: P (B) = 1.

ثالثا: حدث عشوائي قد يحدث أو لا، ولكن احتمال هو دائما تختلف من صفر إلى واحد. وأقرب إلى الوحدة، والمزيد من الفرص. إذا كانت قيمة قريبة من الصفر، واحتمال منخفض جدا. نكتب هذا في اللغة الرياضية: 0

النظر في مشاركة، البديهية الرابعة، وهذا هو: مجموع احتمال حدثين يساوي مجموع احتمالات حصولها. إرسال الناحية الرياضية: P (A + B) = P (A) + P (B).

بديهيات نظرية الاحتمالات - هناك قاعدة بسيطة من شأنها أن لا يكون من الصعب تذكر. دعونا نحاول حل بعض المشاكل، على أساس المعرفة المكتسبة بالفعل.

ورقة يانصيب

أولا، والنظر في أبسط مثال - اليانصيب. تخيل أنك اشتريت تذكرة اليانصيب لحسن الحظ. ما هو احتمال أن الذي سيفوز لا يقل عن عشرين روبل؟ وتشارك إجمالي التداول في ألف تذكرة، واحدة منها لديها جائزة خمسمائة روبل، عشرة مئات روبل، وعشرين وخمسين روبل، و100-5. مهمة نظرية الاحتمالات على أساس كيفية ايجاد وسيلة للالحظ. الآن معا نحلل قرار أعلى عرض المهام.

إذا كنا اشارة به جائزة خمسمائة روبل، ثم احتمال A يساوي 0.001. كيف نصل؟ تحتاج فقط عدد التذاكر "الحظ" مقسوما على العدد الكلي (في هذه الحالة: 1/1000).

في - ربح من مائة روبل، فإن احتمال أن تكون مساوية إلى 0.01. ونحن الآن قد تصرفت بنفس الطريقة التي يعامل بها الإجراء الأخير (10/1000)

C - مكافأة عشرون روبل. العثور على احتمال، وهو يساوي 0.05.

ما تبقى من تذاكر نحن لا تهتم، كجائزة أموالهم أقل من المحدد في هذه الحالة. تطبيق البديهية الرابعة: احتمال الفوز لا يقل عن عشرين روبل هو P (A) + P (B) + P (C). الرسالة P يدل على احتمال المنشأ لهذا الحدث، ونحن في الخطوات السابقة قد وجدت بالفعل. يبقى فقط لوضع البيانات اللازمة، واستجابة نحصل على 0.061. وهذا الرقم يكون الجواب على السؤال من فرص العمل.

ظهر بطاقات

المشاكل على نظرية الاحتمالات، وهناك أيضا أكثر تعقيدا، على سبيل المثال، واتخاذ المهمة التالية. قبل ظهر ستة وثلاثين البطاقات. مهمتك - لرسم ورقتين في صف واحد، دون خلط كومة، وبطاقات الأولى والثانية يجب أن تكون الأوراق الرابحة، والدعاوى لا يهم.

للبدء، والعثور على احتمال أن البطاقة الأولى هي ساحقة، وهذا القسمة على أربعة وستة وثلاثين. ضعه جانبا. نحصل على البطاقة الثانية هي الآس مع احتمال 335. احتمال الحدث الثاني يعتمد على أي بطاقة سحبنا أول واحد، ونحن مهتمون في، كان الآس أم لا. ويستنتج من ذلك أنه في حال يعتمد على الحدث A.

الخطوة التالية نجد احتمال التنفيذ المتزامن، أي تتكاثر ألف وباء عملهم على النحو التالي: احتمال حدث واحد مضروبا في احتمال مشروط آخر، نحسب، على افتراض أن الحدث الأول حدث، أي بطاقة الأولى التي سحبت الآس.

من أجل أن تصبح كل شيء واضح، وإعطاء تسمية هذا العنصر كما الاحتمال الشرطي لل حدث. يتم احتساب ذلك بافتراض أن الحدث A حدث. وتحسب على النحو التالي: P (B / A).

ونعرب عن الحل لمشكلتنا: P (A _* B) = P (A) _* P (B / A) أو P (A _* B) = P (B) _* P (A / B). الاحتمال هو (4/36) _* ((3/35) / (4/36) يتم احتساب التقريب إلى أقرب مائة لدينا: .. 0.11 _* (0.09 / 0.11) = 0.11 _* 0، 82 = 0.09، واحتمال أن نلفت من اثنين ارسالا ساحقا في صف واحد يساوي 9/100. قيمة صغيرة جدا، فإنه يترتب على ذلك أن احتمال وقوع الحدث منخفضة للغاية.

غرفة منسية

نحن نقدم تجعل من بعض مزيد من الخيارات من الوظائف التي يدرس نظرية الاحتمال. أمثلة من الحلول لبعض منها كنت قد رأيت في هذه المقالة، في محاولة لحل المشكلة التالية: الولد نسيت رقم الهاتف للرقم الأخير من صديقه، ولكن نظرا لأن مكالمة مهمة جدا، ثم بدأت تلتقط كل بدوره. نحن بحاجة لحساب احتمال انه سيدعو لا يزيد عن ثلاث مرات. الحل أبسط من المشكلة، إذا كنت تعرف القواعد والقوانين وبديهيات نظرية الاحتمالات.

قبل أن ترى حلا، في محاولة لحل من تلقاء نفسها. ونحن نعلم أن الرقم الأخير قد يكون من صفر إلى تسعة، ليصبح المجموع عشرة القيم. النتيجة احتمال المطلوبة 1/10.

ثم نأتي إلى النظر في خيارات لأصل الأحداث، لنفترض أن الصبي خمنت الصحيح وفاز الحق، واحتمال مثل هذه الأحداث يساوي 1/10. الخيار الثاني: أول زلة المكالمة، والهدف الثاني. نحسب احتمال مثل هذه الأحداث: 9/10 مضروبة 1/9 في النهاية نحصل كما 1/10. الخيار الثالث: تحولت المكالمة الأولى والثانية ليكون العنوان غير صحيح، لم يكن سوى صبي الثالث حيث أراد. حساب احتمال مثل هذه الأحداث: 9/10 مضروبة 8/9 و 1/8، نحصل على نتيجة 10/01. خيارات أخرى في حالة المشكلة أننا لسنا مهتمين، وهذا لا يزال بالنسبة لنا لوضع هذه النتائج في النهاية لدينا 3/10. الجواب: احتمال أن صبيا سيدعو أي أكثر من ثلاثة أضعاف، أي ما يعادل 0.3.

بطاقات مع أرقام

قبل تسع بطاقات، كل منها كتب عددا 1-9، وعدم تكرار الأرقام. وضعوا في صندوق وتخلط جيدا. تحتاج إلى حساب احتمال أن

• توالت عدد زوجي.
• من رقمين.

وقبل الشروع في القرار تنص على أن م - هو عدد الحالات الناجحة، ون - هو العدد الإجمالي من الخيارات. دعونا العثور على احتمال أن العدد حتى. ليس من الصعب حساب حتى أن أعدادا من أربعة، وأنه لدينا م، جميع الخيارات الممكنة تسعة، وهذا هو، ط = 9. ثم احتمال يساوي 0.44 أو 4/9.

ونحن نعتبر أن الحالة الثانية، وعدد من المتغيرات من تسعة، ونتيجة ناجحة لا يمكن أن يكون في كل شيء، وهذا هو، م هو صفر. احتمال أن سوف تحتوي على بطاقة ممدود عدد من رقمين، كما الصفر.